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2018年辽宁单招数学(理科)模拟试题一【含答案】

来源:互联网

时间:2018-08-03

阅读数:4738

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2018年辽宁单招数学(理科)模拟试题一【含答案】

第ⅰ卷(共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则( )

a. b. c. d.

2.已知复数为虚数单位),则的共轭复数为( )

a. b. c. d.

3.下列说法正确的是( )

a.若命题,则

b.已知相关变量满足回归方程,若变量增加一个单位,则平均增加个单位

c.命题“若圆与两坐标轴都有公共点,则实数”为真命题

d.已知随机变量,若,则

4.如图,在边长为的正方形中,的中点,过三点的抛物线与围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )

a. b. c. d.

5.已知某几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是( )

a. b. c.  d.

6.已知正项等比数列的前项和为,若,则的最小值为( )

a. b. c. d.

7.20世纪70年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数,按照以下的规律进行变换:如果是个奇数,则下一步变成;如果是个偶数,则下一步变成,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确地说是落入底部的4-2-1循环,而永远也跳不出这个圈子,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的值为,则输入的值为( )

a. b. c. d.

8.在的二项展开式中,若第四项的系数为,则( )

a. b. c. d.

9.已知等差数列的前项和为,且,则的值为( )

a. b. c. d.

10.将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为奇函数,则的最小值为( )

a. b. c.  d.

11.如图,过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,交其准线于点,若,且,则此抛物线方程为( )

a. b. c. d.

12.已知函数,设关于的方程个不同的实数解,则的所有可能的值为( )

a. b. c. d.

第ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.已知向量,若,则实数 .

14.设实数满足不等式组的最大值为 .

15.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 .

16.已知等腰直角的斜边,沿斜边的高线折起,使二面角的大小为,则四面体的外接球的表面积为 .

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知在中,角的对边分别为,且有.

(1)求角的大小;

(2)当时,求的最大值.

18. 某调查机构随机调查了岁到岁之间的位网上购物者的年龄分布情况,并将所得数据按照分成组,绘制成频率分布直方图(如图).

(1)求频率分布直方图中实数的值及这位网上购物者中年龄在内的人数;

(2)现采用分层抽样的方法从参与调查的位网上购物者中随机抽取人,再从这人中任选人,设这人中年龄在内的人数为,求的分布列和数学期望.

19. 如图,菱形与四边形相交于平面的中点,.

(1)求证:平面

(2)求直线与平面成角的正弦值.

20. 已知椭圆的两个焦点为,离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.

21. 已知函数是常数).

(1)求函数的单调区间;

(2)当时,函数有零点,求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的方程为.

(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;

(2)设是曲线上的任意一点,求点到直线的距离的最大值.

23.选修4-5:不等式选讲

已知函数.

(1)求不等式的解集

(2)当时,证明:.

2018年辽宁单招数学(理科)模拟试题一参考答案

一、选择题

1-5:adcdb 6-10:dcbbd 11、12:ca

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.解:(1)因为

由正弦定理,得

,即.

因为在中,

所以,所以,解得.

(2)由余弦定理,得

,当且仅当时,取等号.

所以

的最大值为.

18.解:(1)由频率分布直方图,可得,得.

则这位网上购物者中年龄在内的频率为

故这位网上购物者中年龄在内的人数为.

(2)由频率分布直方图可知,年龄在内的人数与其他年龄段的总人数比为

由分层抽样的知识知,抽出的人中年龄在内的人数为,其他年龄段的总人数为.

所以的可能取值为.

所以的分布列为

012

的数学期望.

19.(1)证明:取的中点,连接.

因为为菱形对角线的交点,所以中点.

中点,所以,又平面平面,所以平面.

又因为分别为的中点.

所以,又因为,所以平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面.

平面,所以平面.

(2)解:连接.

设菱形的边长,则由,得.

又因为,所以.

则在直角中,,所以.

平面,得平面.

为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则

.

为平面的一个法向量,

.

,得,所以.

所以.

设直线与平面所成角为,则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.解:(1)由离心率,半焦距,解得.

所以.

所以椭圆的方程是.

(2)解:设

∵直线与椭圆有两个不同的交点,

,又,所以.

由根与系数的关系得

设线段中点为,点横坐标,∴

∴线段垂直平分线方程为,∴点坐标为

到直线的距离

所以

,所以当时,三角形面积最大,且.

21.解:(1)当时,,函数在上单调递增,在上单调递减.

时,,因为

,解得.

①当时,函数上有,即,函数单调递增;函数上有,即,函数单调递减;

②当时,函数上有,即,函数单调递增;函数上有,即,函数单调递减.

综上所述,当时,函数的单调递增区间为,递减区间为

时,函数的单调递增区间为,递减区间为

时,函数的单调递增区间为,递减区间为.

(2)①当时,由,可得,故满足题意.

②当时,函数上单调递增,在上单调递减,

(i)若,解得.

可知时,是增函数,时,是减函数,

,∴在

解得,所以

(ii)若,解得.

函数上递增,

,则,解得.

,所以.

③当时,函数上递增,,解得

综上所述,实数的取值范围是.

22.解:(1)因为

所以曲线的普通方程为.

,展开得,即

因此直线的直角坐标方程为.

(2)设

则点到直线的距离为

等号成立当且仅当,即时等号成立,即

因此点到直线的距离的最大值为.

23.(1)解:由,得,即

解得,所以.

(2)证明:(证法一)

因为,所以

所以

,故.

(证法二)因为,故

,故.

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